向量的乘积是什么？（向量相乘）

提及向量的乘积是什么？以及向量相乘的相关内容，许多人不太了解，来看看小伟的介绍吧！

向量的乘积是什么？

物理上的矢量，数学上有时候又把它叫做向量

经常用表示，其xyz分量我们用表示

两个矢量的「乘法」，常用的有两种定义

一种叫做内积，或者叫做点乘，或者叫做标量积，，这种乘法的计算结果是标量（也就是纯数），等于两个矢量的大小（也叫做「模长」）的乘积再乘以两个矢量夹角的「余弦」：

把分量写出来：

所以，当两个矢量方向相同时，内积最大；方向相反时，内积最小（负值，绝对值最大）；方向垂直时，内积为零；当两个矢量交换乘法次序时，内积不变：

另一种叫做外积，或者叫做叉乘，或者叫做矢量积，，这种乘法的计算结果是另一个矢量，这个矢量的大小等于原来两个矢量的大小的乘积再乘以两个矢量夹角（小于180度）的「正弦」：，这个矢量的方向由「右手法则」规定：右手的四个手指指向第一个矢量，然后四指（以小于180度的角度）弯曲向第二个矢量的方向，这时候大拇指方向即为外积矢量的方向

所以，当两个矢量方向平行（相同或者相反）时，外积为零；方向垂直时，外积最大；当两个矢量交换乘法次序时，外积大小不变，方向相反

矢量外积可以利用Levi-Civita符号把分量形式写出来：定义，而，如果有任意两个指标相同，等于零，例如，那么有，或者，，

可见，在计算矢量外积时，a矢量的x分量绝不可能和b矢量的x分量乘在一起，三者一定是「错开」的

从中学的角度来说，矢量外积的结果垂直于原来两个矢量所组成的平面，或者说，是沿平面的「法向」；而且其方向有某种任意性，和我们的约定有关，如果不采用「右手规则」而采用「左手规则」，一切也可以成立

从本质上来说，矢量外积之所以有定义，和我们所在的

三维

空间的某种「旋转」特性有关，而在

二维

空间中，是不能定义矢量外积的（类似方法定义出来的结果恒为零）

外积计算结果得到的矢量和普通的矢量有一定的区别，物理上叫做「赝矢量」或者「轴矢量」，它们在空间反射变换（即这样的操作：把xyz轴的正向变成负向，负向变成正向，）下不变，而普通的矢量（为了和轴矢量相区别，普通的矢量又叫做「极矢量」）在空间反射变换下是要变符号的

既然外积的计算结果仍然是矢量，可以和另一个矢量继续计算内积，这种乘法叫做「三重积」，三重积的大小（取绝对值）等于以这三个矢量为棱所得到的平行六面体的体积